La convessità (convexity)

Figura 2.4: La convessità. La linea retta tangente alla curva indica l'approssimazione nella variazione di prezzo dell'obbligazione derivante dall'impiego della duration -- la stima di variazione attesa è tanto migliore quanto minori sono le variazioni del TRES.

La relazione tra prezzo di un'obbligazione e il rendimento effettivo (TRES) non è di tipo lineare e può essere rappresentata dalla curva riportata in Figura 2.4. Il prezzo $P$ dipende dal rendimento effettivo a scadenza TRES e, come abbiamo appena visto, una variazione di quest'ultimo presuppone una variazione di segno contrario nel prezzo. La variazione di prezzo stimata sulla base della duration è una variazione lineare: la relazione esistente tra il prezzo e il rendimento effettivo manifesta un grado di curvatura per il quale la variazione di prezzo stimata sulla base della duration è un'approssimazione accettabile solo in presenza di variazioni infinitesimali nel TRES. La duration è quindi solamente una prima approssimazione della variazione attesa del prezzo di un'obbligazione che deve essere integrata (soprattutto in presenza di variazioni non più infinitesimali) da una stima della curvatura, o convessità, dell'obbligazione.

La correzione da apportare alla variazione stimata sulla base della duration modificata è data dalla seguente espressione:

$$CA= 0,5 \cdot (C) \cdot (\delta TRES)^2$$ (1.11)

dove $CA$ e $\delta TRES$ indicano la correzione da aggiungere alla variazione stimata e la variazione del $TRES$ mentre $C$ (la convessità) è data da:

$$\mathop{\mathrm{C}} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n i(i+1)CF_{i}(1+TRES)^{-i}} {(1+TRES)^{2}P}$$ (1.12)

La variazione di prezzo attesa e corretta sulla base di (2.11) sarebbe dunque:

$$\frac{\Delta P}{P}= -DM + CA$$ (1.13)

Dall'esempioLa convexity corregge la variazione stimata con la duration modificata riportato in Figura 2.4 dovrebbe essere evidente come la variazione di prezzo stimata sulla base della duration (lungo la linea tratteggiata, quindi) amplifica negativamente la variazione di prezzo effettiva (lunga la curva continua): in altre parole la variazione di prezzo effettiva è sempre migliore rispetto alla variazione di prezzo stimata sulla base della duration soprattutto evidente in presenza di variazioni non infinitesimali, come evidenziato nell'esempio seguente.