Il Dividend Discount Model

Nell'ambito dei modelli basati sull'attualizzazione dei flussi sicuramente riveste un ruolo importante -- almeno da un punto di vista didattico -- il modello di sconto dei dividendi. Il Dividend Discount Model (DDM) è un modello di valutazione dei titoli azionari che si basa sul concetto di attualizzazione dei dividendi. Secondo questo modello il valore di un titolo azionario deve essere il valore attuale dei flussi di cassa attesi (v. Regola 1 pag. ) e in particolare per un titolo azionario il flusso di cassa atteso è rappresentato dai dividendi che l'azione staccherà durante l'orizzonte temporale di valutazione e dal prezzo di vendita atteso al termine del periodo:

Tabella 2.9: Stima dei flussi di GranitiFiandre. Stimiamo che l'azienda emiliana possa pagare un dividendo pari a 10 centesimi di euro nei prossimi 5 anni e che il prezzo di mercato al termine del quinto anno sia pari a 8,5 .

Anno	Dividendo ()	Prezzo di vendita ()
2003	0,10	-
2004	0,10	-
2005	0,10	-
2006	0,10	-
2007	0,10	8,5

$$P=\frac{d_{1}}{(1+rr_{1})^1}+\frac{d_{2}}{(1+rr_{2})^2}+ \ldots + \frac{d_{n}+P_{n}}{(1+rr_{n})^n}$$ (1.22)

dove in (2.22) con $d_{t}$ indichiamo il dividendo che verrà pagato al tempo $t$ con $rr_{t}$ il tasso di attualizzazione appropriato per il titolo al tempo $t$, con $n$ il numero di anni per i quali verrà detenuto il titolo, con $P$ il valore teorico del titolo azionario, e con $P_{n}$ il prezzo di vendita atteso al tempo $n$. Prendiamo in considerazione i dati relativi al titolo GranitiFiandre riportati in Tabella 2.9.

Se consideriamo un tasso del 9,0% come tasso appropriato di attualizzazione e ipotizziamo che la società stacchi costantemente un dividendo di 0,10 euro per i prossimi 5 anni ed un prezzo di vendita atteso al termine del quinto anno di 8,5 euro otteniamo che (v. Tabella 2.10):

$${ P=\frac{0,10}{(1+0,09)^1}+\frac{0,10}{(1+0,09)^2}+ \ldots + {} }$$

$${} + \frac{0,10}{(1+0,09)^5}+\frac{8,5}{(1+0,09)^5}=5,91$$

Tabella 2.10: Stima dei flussi in valore attuale per GranitiFiandre. Stimando un rendimento richiesto pari al 9,0% -- il tasso di attualizzazione dei dividendi -- il valore teorico del titolo azionario è dato dalla somma in valore attuale flussi di cassa attesi.

Anno	Dividendo	Prezzo	Valore attuale
2003	0,10	-	$0,9174 \cdot 0,10$
2004	0,10	-	$0,8417 \cdot 0,10$
2005	0,10	-	$0,7722 \cdot 0,10$
2006	0,10	-	$0,7084 \cdot 0,10$
2007	0,10	8,5	$0,6499 \cdot (0,10+8,5)$

In base al DDM il valore teorico di borsa di GranitiFiandre dovrebbe essere di $5,91$. Questo modello presuppone una stima accurata dei dividendi futuri, del tasso di attualizzazione appropriato e del prezzo di vendita futuro del titolo. Chiaramente, quanto è maggiore il flusso di dividendi e il prezzo di vendita futuro tanto è maggiore il valore teorico del titolo; mentre quanto è maggiore il tasso di attualizzazione appropriato tanto è minore il valore teorico del titolo secondo questo modello. Il tasso di attualizzazione può essere considerato come il tasso di rendimento richiesto dagli investitori per impiegare un capitale unitario nel titolo azionario in considerazione.

Una varianteIl modello a crescita costante di Gordon del DDM è il modello a crescita costante di Gordon-Shapiro (modello di Gordon) nel quale si assume che i dividendi crescano ad un tasso costante $g$. Il prezzo di vendita futuro può essere immaginato come dipendente dai flussi di cassa futuri attesi oltre il periodo considerato per la vendita del titolo. Per cui per $n$ che avvicina l'infinito nel modello di Gordon il valore teorico di un titolo azionario dipende dal dividendo $d$ corrente, dal tasso di crescita del dividendo $g$ e dal tasso di attualizzazione appropriato $k$.

$$P=\lim _{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{d_{i-1}(1+g)^i}{(1+k)^i}$$ (1.23)

La (2.23) per $r>g$ tende al seguente valore:

$$P=\frac{d(1+g)}{(k-g)}$$ (1.24)

Più semplicemente la (2.24) può essere riscritta come il rapporto tra il dividendo atteso del periodo successivo ($d_{1}$) e la differenza tra il tasso di attualizzazione ($k$) e il saggio di crescita atteso nei dividendi ($g$):

$$P=\frac{d_{1}}{(k-g)}$$ (1.25)

Tornando al nostro esempio della GranitiFiandre, impiegando il dividendo corrente $d_{0}$ pari a 0,09 euro, il tasso di crescita $g$ atteso pari al 7,5% e il tasso di attualizzazione appropriato $k$ pari a 9,0%, sostituiamo i valori nella (2.24) e otteniamo:

$$P=\frac{0,09(1+0,075)}{0,09-0,075}=6,45$$

Il valore teorico del titolo azionario secondo il modello di Gordon è tanto maggiore quanto maggiori sono il dividendo corrente, il tasso di crescita atteso per i dividendi $g$ ed è tanto minore quanto è maggiore il tasso di attualizzazione appropriato $k$. Un'avvertenza è da sottolineare: il tasso di crescita $g$ nel modello di Gordon deve essere inferiore al tasso di attualizzazione appropriato $g$ altrimenti la condizione di convergenza della serie verrebbe a mancare facendo diventare assurdamente, applicando la (2.24), il valore teorico del titolo negativo! In Figura 2.10 riportiamo un esempio concreto di come nel DDM le ipotesi relative alla crescita dei dividendi possano trovare un riscontro credibile nella realtà finanziaria di alcune società. In particolare è da osservare come la crescita dei dividendi di General Electric (GE) sia stata alimenta da una crescita molto simile degli utili riportati dalla società. È sorprendente, inoltre, la costanza con la quale GE ha pagato (pay-out) annualmente i dividendi.

Figura 2.10: General Electric. Utili per azione (Eps -- earnings per share) e dividendi realizzati e pagati da GE negli ultimi 30 anni: un esempio di come il modello di crescita costante di Gordon possa prestarsi concretamente alla valutazione di titoli azionari emessi da aziende ``mature''.

Nella praticaIl modello di crescita differenziata: il modello di sconto a tre stadi finanziaria si ricorre spesso ad un modello chiamato modello a tre stadi nel quale l'ipotesi con la quale si impone che i dividendi crescano ad un tasso costante infinito viene sostituita ipotizzando che la crescita attesa dei dividendi (o dei flussi di cassa sia nella versione FCFE, sia nella versione FCFF -- rispettivamente equity side e asset side) debba attraversare tre differenti stadi (v. Figura 2.11): un primo stadio in cui si assume che i dividendi della società crescano molto rapidamente [$g(\%)$], un secondo stadio in cui si osserva un rallentamento nella crescita dei dividendi ed un ultimo stadio in cui la crescita si assesta su un tasso costante ed infinito.

Figura 2.11: Il DCF a tre stadi. La crescita attesa nei flussi di cassa viene stimata analiticamente con riferimento ad un periodo iniziale (3/5 anni), successivamente si ipotizza che il tasso di crescita (g) converga progressivamente verso uno stadio finale di crescita costante e sostenibile nel lungo termine.