Il pricing dei contratti a termine

Un future è un impegno ad acquistare o vendere una quantità standard di una determinata attività --finanziaria o reale-- ad una data futura per un prezzo concordato oggi. Si distingue dal contratto forward per il fatto che quest'ultimo non ha caratteristiche standard e può essere negoziato in modo da personalizzarlo sulle specifiche delle controparti contrattanti. Entrambi possono essere definiti contratti a termine.

Il valore teorico di un contratto future (fair value) è il prezzo al quale le controparti sono indifferenti se acquistare (o vendere) l'attività sottostante o se aprire una posizione lunga (o corta) sul future. Immaginate un gioielliere che sappia di dover acquistare 5 once di oro per modellare alcuni anelli nuziali tra tre mesi. Egli ha due alternative: acquistare l'oro a pronti --sul mercato spot-- oppure aprire una posizione lunga -- acquistare un contratto a termine-- sull'oro per consegna tra tre mesi. Nel primo caso se acquista l'oro è tenuto a pagare a pronti, per ciò dovrà destinare una somma liquida per la liquidazione del contratto. Nel caso del contratto a termine potrebbe negoziare con il venditore di liquidare il contratto a termine al momento della consegna.

In prima approssimazione nella prospettiva del venditore del future, osserviamo che per garantire la consegna dell'oro potrebbe essere necessario acquistare oggi sul mercato spot l'oro e depositarlo presso una banca in modo tale da assicurarlo contro eventuali furti o danneggiamenti. Il prezzo al quale il venditore sarebbe disposto ad impegnarsi nel contratto a termine è rappresentato dal costo di acquisto dell'oro sul mercato spot sommato al costo del deposito presso la banca. Per semplicità --non è una semplificazione irrealistica-- il costo di deposito potrebbe essere rappresentato dal tasso d'interesse sul conto corrente. Per ciò il valore teorico dell'oro a termine è dato dal suo costo pari all'esborso per il pagamento sul mercato spot più il costo --ossia il mancato interesse-- del finanziamento bancario dato dal tasso d'interesse praticato dalla banca.

Se l'oro sul mercato spot (a pronti) quota 350 $/oz. (dollari per oncia), e il tasso d'interesse che la banca pratica sul conto corrente bancario --dotato di un'assicurazione contro furti e danni subiti da eventuali rapine-- è del 5% possiamo calcolare:

$$350 \$ + 350 \$ \cdot 0,05 \cdot \frac{3}{4} = 354,40 \$$$

Dove 350$ sono la liquidità ritirata dal conto corrente bancario impiegata per l'acquisto sul mercato spot dell'oro; il costo del finanziamento dell'acquisto è dato dall'interesse al tasso del 5% annuo prodotto su 350$ per un periodo di tre mesi --in questo caso, ossia un quarto di anno. In questo modo per il venditore d'oro sul mercato a termine diverrebbe indifferente vendere un oncia d'oro sul mercato spot oggi a 350$ oppure vendere un oncia sul mercato a termine a 354,40$.

Analogamente, se la scadenza per la consegna fosse sei mesi anziché tre mesi allora in questo caso il costo del finanziamento sarebbe 8,86$ per ciò il valore teorico a termine diverrebbe 358,86$ --350$ + 8,86$. Dunque dal punto di vista del venditore il valore teorico al quale egli è disposto a vendere a termine l'oro dipende dal tasso d'interesse e al tempo --per dovere di cronaca basti sapere che tale costo viene detto in gergo, dall'inglese naturalmente, cost-of-carry.

Immaginiamo per un istante invece, che il prezzo del contratto a termine sull'oro consegna tre mesi sia superiore a 354,4$/oz. Diciamo che quoti ad esempio a 360$/oz. Se consideriamo che acquistando l'oro oggi sul mercato spot, pagandolo 350$/oz. e incorrendo in un costo di finanziamento --ribadiamo cost of carry-- sul periodo di tre mesi di 4,40 lo pagheremmo complessivamente 354,40 l'oncia; sarebbe senz'altro una grandissima opportunità di arbitraggio tentare di acquistarne 100 (!) tonnellate per una banca d'affari sul mercato spot e simultaneamente venderne 100 tonnellate a termine, con consegna tre mesi, al prezzo di 360$/oz. Questo darebbe origine ad un profitto senza nessun rischio^1.23 di circa 20 milioni di dollari^1.24! Non male vero? Peccato che il tentativo di acquistare così tanto oro sul mercato spot e di venderne altrettanto su quello a termine avrebbe come risultato quello di fare salire un prezzo --quello spot-- e farne scendere l'altro --quello a termine-- riducendo velocemente il profitto d'arbitraggio. Per cui una quotazione sul mercato a termine superiore a 354,40 --nel nostro caso 360 $/oz.-- sarebbe da considerarsi una imperfezione del mercato che richiamerebbe --e richiama per davvero-- gli speculatori --o arbitraggisti-- il cui intervento rimetterebbe le cose al loro posto!

E se il prezzo del contratto future fosse meno di 354,40$ consegna tre mesi? Diciamo ad esempio 348$. La banca d'affari troverebbe profittevole vendere l'oro sul mercato spot a 350$/oz. per poi depositare il ricavato della vendita sul mercato interbancario ad un tasso del 5% annuo ed impegnarsi a riacquistare l'oro sul mercato a termine ad un prezzo di 348$/oz. tra tre mesi. Parte della somma depositata tra tre mesi verrebbe utilizzata per l'acquisto dell'oro a 348$/oz.: avanzerebbe una somma di all'incirca 22 milioni di $ che potrebbe interessare al conto economico anche di un grosso gruppo bancario! Ma ahimè, il tentativo di acquistare tanto oro sul mercato a termine e di venderne altrettanto su quello spot produrrebbe come conseguenza un veloce avvicinamento dei prezzi sui due mercati, riducendo sensibilmente il margine di arbitraggio^1.25!

Concludiamo dicendo che il valore teorico --o fair value-- di un contratto futures è dato dal prezzo spot di mercato sull'attività sottostante più il cost-of-carry. Più in generale riportiamo una formula per tale calcolo:

$$F=S \cdot (1+r)^t$$ (1.37)

dove in equazione (2.37)^1.26 con $F$ indichiamo il valore teorico dell'attività sottostante, con $S$ il prezzo spot di mercato sull'attività sottostante, con $r$ il tasso d'interesse annuo relativo al periodo di tempo $t$. In generale il valore teorico --o fair value-- di un contratto a termine è dato dal prezzo spot capitalizzato ad un tasso d'interesse rappresentante il cost of carry per il periodo a cui il termine di consegna dà origine.