La duration

Intuitivamente un aumento dei tassi d'interesse praticati sul mercato obbligazionario (rappresentato da un aumento nei rendimenti effettivi a scadenza delle obbligazioni) è correlato negativamente con il prezzo dei titoli obbligazionari: affinché un obbligazione, a tasso fisso, negoziata sul mercato secondario recuperi uno svantaggio in termini di rendimento a causa di un generalizzato aumento dei tassi di interesse è necessario che il suo prezzo diminuisca al punto tale da avere compensato la maggior redditività del mercato obbligazionario (v. Regola 2). La variazione di prezzo di un titolo obbligazionario può essere stimata ex-ante in base ad un indicatore della durata denominato duration.

La duration --anche chiamata Macaulay duration-- è una misura alternativa della durata di un titolo obbligazionario e rappresenta la media ponderata, per i flussi di cassa attualizzati, dei periodi che intercorrono alla scadenza. In formula:

$$\mathop{\mathrm{D}} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n i... ...{-i}} {\displaystyle\sum_{i=1}^n CF_{i} \cdot (1+TRES)^{-i}}$$ (1.5)

che può essere riscritta come segue:

$$\mathop{\mathrm{D}} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n i \cdot CF_{i} \cdot (1+TRES)^{-i}} {P}$$ (1.6)

dove in (2.5) e in (2.6) indichiamo con $n$ il numero di anni a scadenza con $CF_{i}$ il flusso di cassa relativa al periodo $i$-esimo, con $TRES$ il tasso effettivo di rendimento a scadenza e con $P$ il prezzo di mercato del titolo.

Nell'esempio riportato in Tabella 2.1 a pag. vediamo un obbligazione che paga una cedola annua di 5, che rimborserà a scadenza 100 e con un TRES del 6%. Per questa obbligazione abbiamo applicato la formula della duration e abbiamo ottenuto come risultato 3,717.

$$D=\frac{1 \cdot 4,7170 + 2 \cdot 4,4500 + 3 \cdot 4,1981 + 4 \cdot 83,1698}{96,5349} = 3,717$$

Dalla formula riportata sopra si può osservare (!) come la duration di un titolo obbligazionario sia tanto maggiore (minore):

• quanto è maggiore (minore) $n$ (il numero di anni a scadenza per un titolo con cedola annuale);
• quanto è minore (maggiore) $CF_{i}$ (le cedole pagate, rispetto al valore di rimborso);
• quanto è minore (maggiore) $TRES$ (il tasso di rendimento effettivo a scadenza);
• quanto è meno (meno) frequente il pagamento delle cedole.

Tabella 2.2: Il pricing delle obbligazioni. In uno zero coupon bond il ``tempo di attesa'' per capitalizzare l'investimento coincide con la vita residua -- i flussi di cassa sono interamente concentrati a scadenza.

Anni	Cash flow	Fatt. di attual.	Valore attuale	Incid.(%)
1	0	0,9434	0	0%
2	0	0,8900	0	0%
3	0	0,8396	0	0%
4	100	0,7921	79,21	100,0%
TRES	6%		P=79,21

Figura 2.1: Duration di uno zero-coupon: in questo caso la duration coincide con la vita residua pari a 4 anni (i flussi di cassa attesi sono rispettivamente 100,00 -- in valore nominale -- e 79,21 -- il suo valore attuale ossia il prezzo del titolo, v. Tab. 2.2).

Figura 2.2: Duration cedola 5,00% -- con vita residua pari a 4 anni e con una cedola 5,00% la duration di questo titolo è pari a 3,72 anni (i flussi di cassa attesi sono 5,00 -- le cedole -- e 105 -- il valore di rimborso sommato all'ultima cedola -- in valore nominale mentre in valore attuale sono quelli riportati in Tabella 2.1): è necessario aspettare non fino alla scadenza per ``avere un ritorno economico''.

Figura 2.3: Duration -- con una vita residua di 4 anni e con una cedola 10,00% la duration del titolo è pari a 3,52 anni (i flussi di cassa attesi sono riportati sia in valore nominale sia in valore attuale).

Intuitivamente La duration consente il confronto di titoli con flussi cedolari differentila duration può essere rappresentata come un ``baricentro'' su cui poggiano i flussi di cassa attesi (in valore attuale) del prestito obbligazionario: nelle Figure 2.1, 2.2 e 2.3 sono riportati i piani di ammortamento di un'obbligazione zero coupon, una con cedola 5% e una con cedola 10%, nella parte in basso è anche riportata, indicata con un triangolo, la durata finanziaria che, a parità di scadenza (4 anni) diminuisce all'aumentare della cedola.

Da un punto di vista analitico la duration ``deriva'', nelle formule proposte, dall'operazione matematica di calcolo differenziale di derivazione (di primo ordine).