L'albero binomiale

L'albero binomiale si presta molto bene ad illustrare, da un punto di vista intuitivo, il pricing di un'opzione. Consideriamo un'opzione call, con strike pari a 102,5 (euro), che scada tra 1 mese e ipotizziamo che il titolo sottostante quoti correntemente a 100 (euro), e che il titolo possa guadagnare o perdere, nell'arco di un anno, 5 (euro) con una probabilità del 50%:

$$% latex2html id marker 1802 \xymatrix{ &105_{(2,5)} \\ 100 \ar[ur]^{1/2} \ar[dr]_{1/2} &\\ &95_{(0,0)}}$$ (1.42)

Considerando in Figura (2.42) una probabilità di guadagnare o perdere pari a $1/2$ allora il valore equo (il valore medio o atteso) dell'opzione è 1,25 ( $2,5 \cdot 0,50 + 0,0 \cdot 0,50 = 1,25$). Infatti se l'attività sottostante scende a 95 l'opzione scadrà out-of-the-money e quindi non avrà alcun valore, mentre se l'azione sale a 105 allora l'opzione a scadenza avrà un valore intrinseco pari a 2,5 ($105-102,5=2,5$).

Consideriamo invece lo stesso titolo sottostante però con 2 mesi a scadenza; avremo che:

$$% latex2html id marker 1812 \xymatrix{ & &110_{(7,5)} \\ ... ...} \\ &95 \ar[ur]^{1/4} \ar[dr]_{1/4}&\\ & &90_{(0,0)}\\ }$$ (1.43)

Considerando in Figura (2.43) una probabilità di salire o scendere ogni anno sempre di $1/2$ allora il valore equo dell'opzione sara 1,875 ( $7,5 \cdot 0,25 + 0,0 \cdot 0,50 + 0,0 \cdot 0,25 = 1,875$).

Considerando invece un'altra opzione sempre sulla medesima attività finanziaria con uno strike pari a 101 (euro) allora avremmo che:

$$% latex2html id marker 1829 \xymatrix{ & &110_{(9,0)} \\ ... ...} \\ &95 \ar[ur]^{1/4} \ar[dr]_{1/4}&\\ & &90_{(0,0)}\\ }$$ (1.44)

In Figura 2.44 si nota come il valore dell'opzione in questo caso diverrebbe 2,25 ( $9,0 \cdot 0,25 + 0,0 \cdot 0,50 + 0,0 \cdot 0,25 = 2,25$). Ancora, aumentando la volatilità dell'attività sottostante, ossia la sua quotazione potrebbe salire o scendere non più di 5 euro ma di 10 euro, allora:

$$% latex2html id marker 1845 \xymatrix{ & &120_{(19,0)} \\... ...} \\ &90 \ar[ur]^{1/4} \ar[dr]_{1/4}&\\ & &80_{(0,0)}\\ }$$ (1.45)

il suo valore diverrebbe 4,75 ( $19,0 \cdot 0,25 + 0,0 \cdot 0,50 + 0,0 \cdot 0,25 = 4,75$).

Intuitivamente dunque, il valore di un opzione dipende (principalmente) dal tempo a scadenza, dallo strike price (e quindi anche dalla quotazione del sottostante) e dalla volatilità (cfr. Figura 2.20).

Figura 2.20: Il pricing delle opzioni. Il valore teorico di un'opzione è influenzato (principalmente) positivamente (sia che si tratti di un'opzione call sia che si tratti di un'opzione put) dalla volatilità, $\sigma$ (stimata) dell'attività sottostante, dal tempo residuo a scadenza, $t$; il valore dell'opzione call (put) è tanto maggiore quanto maggiore (minore) è il rapporto tra la quotazione corrente dell'attività sottostante ($S$) e lo strike price ($X$) (in valore attuale, $S/(Xe^{-rt})$.