La formula di Black-Scholes

Più frequentemente si ricorre alla nota formula di Black-Scholes per prezzare un'opzione di tipo europeo:

$$Call = S N(d_{1}) - X e^{-rt}N(d_{2})$$ (1.46)

in (2.46) $d_{1}=\frac{ln(S/X) + (r+0,5\sigma^2)t}{\sigma\sqrt{t}}$ e $d_{2}=d_{1}-\sigma \sqrt{t}$; sempre in (2.46) indichiamo:

1. $ln$ il logaritmo naturale;
2. $Call$ il valore dell'opzione call;
3. $S$ il prezzo spot del sottostante;
4. $X$ lo strike price;
5. $r$ il tasso privo di rischio;
6. $e$ l'antilogaritmo (2,718...);
7. $\sigma$ la deviazione standard del sottostante;
8. $t$ il tempo a scadenza;
9. $N(.)$ la probabilità cumulata in una distribuzione normale.

In (2.46) si vede che il valore di un'opzione call dipende dal valore intrinseco ($S-X$) e dal valore temporale --influenzato principalmente dalla volatilità ($\sigma$) e dal tempo a scadenza ($t$).

Per rendere più intuitivi gli elementi di pricing espressi di Black-Scholes in (2.46) può essere utile cercare di semplificare ulteriormente la stessa formula condensando il valore teorico dell'opzione in due variabili: la volatilità corretta per il tempo a scadenza e il rapporto di in-the-moneyness; definiamo quindi la prima nuova variabile come la volatilità espressa sul tempo residuo a scadenza mentre la seconda come indicatore di quanto l'opzione sia in, at, o out-of-the-money.

Il valore di un'opzione call può essere quindi collassato, intuitivamente, in:

$$Call= f( \sigma \sqrt{t}, S/Xe^{-rt})=f \big( TAV (+), MR(+) \big)$$ (1.47)

dove in (2.47) $TAV$ e $MR$ sono rispettivamente la volatilità corretta per il tempo residuo a scadenza dell'opzione e il rapporto di in-the-moneyness, i simboli ($+$) stanno ad indicare una relazione diretta:

• tanto sono maggiori la volatilità ($\sigma$) e il tempo residuo a scadenza ($t$) tanto è maggiore la volatilità espressa sul tempo residuo ( $TAV=\sigma \sqrt(t)$) e quindi tanto maggiore ($+$) è il valore teorico dell'opzione;
• tanto più è in-the-money l'opzione ( $MR=S/(Xe^{-rt})$) tanto maggiore () è il rapporto di in-the-moneyness e quindi tanto è maggiore il valore dell'opzione.

In Figura 2.21 e in Tabella 2.18 riportiamo i valori calcolati impiegando il modello descritto in 2.47 [Arnold 2003].

all'aumento di MR e TAV (rispettivamente sull'asse delle ascisse $x$, a destra, e sull'asse delle ordinate $y$, a sinistra) il valore dell'opzione aumenta e viceversa.

Figura 2.21: Il valore dell'opzione rispetto a MR e TAV. Il valore dell'opzione (call, in questo caso) dipende, positivamente, dalla volatilità corretta per il tempo a scadenza ( $TAV=\sigma\sqrt{t}$) e dal rapporto di in-the-moneyness ( $MR=S/(Xe^{-rt})$): tanto è maggiore la volatilità (dell'attività sottostante) per il tempo residuo a scadenza dell'opzione tanto maggiore è il valore dell'opzione, tanto più è in-the-money un'opzione tanto maggiore è il suo valore.

Figura 2.22: I delta delle opzioni call e put. Il delta dell'opzione (la sensibilità del valore dell'opzione derivante da variazioni nel valore corrente dell'attività sottostante) è tanto maggiore in valore assoluto ($\Vert\delta\Vert$) quanto più è in-the-money l'opzione -- in figura il delta di due opzioni, call e put, con strike 100, volatilità 20%.

Figura 2.23: Vega e theta delle opzioni. Il decadimento temporale (theta) e la sensibilità alla volatilità del sottostante (theta) sono massime per un'opzione at-the-money (call o put non cambia). Nel caso in figura il decadimento temporale accelera velocemente mano a mano che l'opzione si avvicina a scadenza -- strike 100, volatilità 20%.