La duration modificata

Il valore teorico di un'obbligazione (come abbiamo visto) è dato dal valore attuale dei flussi di cassa attesi (cedole, nel caso di coupon bond, e rimborso del capitale) perciò possiamo scrivere in formula, per un titolo che paghi una cedola annuale che:

$$\mathop{\mathrm{P}=\displaystyle \sum_{i=1}^n CF_{i}(1+TRES)^{-i}}$$ (1.7)

dove in (2.7) con $CF_{t}$ indichiamo il flusso di cassa al tempo $t-esimo$ (ricordiamo che al tempo $n-esimo$ $CF_{n}$ è pari alla somma dell'ultima cedola e del valore rimborsato), $TRES$ il tasso di rendimento effettivo a scadenza e con $P$ il valore teorico dell'obbligazione. $P$ è dunque una funzione del TRES per cui, per approssimare la variazione derivante da variazioni infinitesimali del TRES si può derivare la funzione $P$ secondo il $TRES$ e si ottiene:

$$DM= - \frac{1}{1+TRES}\Bigg[ \sum_{i=1}^n iCF_{i}(1+TRES)^{-i} \Bigg] \frac{1}{P}$$ (1.8)

da cui si può agevolmente ricavare:

$$DM= - \frac{D}{1+TRES}$$ (1.9)

dove con $D$ abbiamo indicato la duration del titolo.

La La duration modificata viene anche indicata come volatilitàduration modificata^1.3 esprime la variazione percentuale derivante da variazioni del TRES. Nell'esempio riportato in Tabella 2.1 la duration modificata risulta essere pari a:

$$DM= - \frac{3{,}717}{1+0{,}06}=3{,}51(\%)$$

Per cui -- con estrema approssimazione (v. 2.1.4) -- una variazione di un punto percentuale (100 punti base) del TRES produce una variazione percentuale di segno opposto pari al 3,51% nel prezzo dell'obbligazione (v. Tabella 2.3).

Tabella 2.3: La relazione esistente tra duration e duration modificata.

	Duration (anni)	Duration modificata
Zero coupon	4,00	3,77%
5% coupon	3,72	3,51%
10% coupon	3,52	3,32%