Azioni e obbligazioni: la teoria delle opzioni

Il valore dei mezzi propri di un'azienda è per definizione la differenza tra la somma del valore dei progetti d'investimento (il totale degli impieghi o il totale dell'attivo) e il valore del mezzi di terzi (il totale del debito o del passivo). Nel caso in cui il valore dei progetti d'investimento non consenta di rimborsare il debito allora il valore dei mezzi propri, non potendo essere inferiore a zero (il principio della rensponsabilità limitata), sarà pari a zero e il controllo aziendale passerà ai creditori. Nel caso in cui il valore dei progetti d'investimento sia inferiore al debito da rimborsare il valore del debito sarà pari al valore dei progetti d'investimento.

$$MP = max \big[\big(A - B\big), 0 \big]$$ (1.49)

$$MT = min \big[A, B\big]$$ (1.50)

dove in (2.50) e (2.51) con $MP$, $MT$, $A$ e $B$ indichiamo rispettivamente il valore dei mezzi propri, dei mezzi di terzi, del totale attivo e del debito.

Il valore dei mezzi propri può essere visto dunque come il valore di un'opzione call scritta sul valore dell'attivo (la somma dei progetti d'investimento) con strike price pari al valore di rimborso del debito che sarà esercitata qualora sia al momento della scadenza del debito in-the-money, ossia il valore dell'attivo sia superiore al valore di rimborso del debito.

Il valore del debito, invece, può essere inteso come il valore di una posizione derivante dall'acquisto di un titolo zero coupon privo di rischio di credito e dalla simultanea vendita di un opzione put ($P$ in (2.53) e (2.52)) scritta sul valore dell'attivo con strike price pari al valore di rimborso del debito; ossia:

$$B = B(rf) - P$$ (1.51)

Utilizzando la put-call parity in (2.41) possiamo scrivere il valore dell'azienda (enterprise value^1.28) nel modo seguente:

$$A = C + \big( B(rf) - P \big)$$ (1.52)

La posizione derivante dall'acquisto di un titolo privo di rischio e dalla vendita di un'opzione put sul valore dell'attivo dell'azienda equivale dunque all'acquisto di un'obbligazione corporate. L'opzione $P$ viene detta default put e rappresenta un esempio degli scambiatissimi credit derivatives.

L'acquisto sul mercato secondario di questi default put consente, ad esempio, al sottoscrittore di un bond corporate di ridurre o eliminare il contenuto di rischio di credito presente nell'investimento.